西瓜书概念

附录

  • Page399: 行列式（determinant）

    n 阶方阵 A 的行列式（determinant）定义为：

    其中，Sn 为所有 n 阶排列（permutation）的集合，par(σ) 的值为 -1 或 +1 取决于 σ = (σ1,σ2,...σn) 为奇排列或偶排列，即其中出现降序的次数为奇数或偶数，例如 (1,3,2) 中降序次数为 1，(3,1,2) 中降序次数为 2。对于单位阵，有 det(I) = 1。

    直观理解：

    • 是什么：以二维为例，表示一个区域的面积，负数则是将区域翻转，或者说定向改变。如果矩阵所代表的变换将空间压缩到更小的维度（不满秩），则行列式为 0（比如二维到一维，面积就变成了零）。列代表基向量，行代表坐标，一个 m×n 的矩阵表示 n 个基向量表示的空间映射在 m 维的坐标上。行列式是面积（二维）或体积（三维）缩放的比例。
    • 怎么算：以二维为例，主对角线元素代表两个维度缩放的比例，其余两个元素代表两个维度的坐标区域对角线的缩放。

  • Page399: 迹（trace）

    对于 n 阶方阵 A，它的迹（trace）是主对角线上的元素之和，即：

  • Page400: Frobenius 范数

    矩阵 A(m×n) 的 Frobenius 范数定义为：

    矩阵的 Frobenius 范数就是将矩阵张成向量后的 L2 范数，其实就是所有元素的平方和再开方。

  • Page402: 低秩矩阵近似问题

    给定一个秩为 r 的矩阵 A，欲求其最优 k 秩近似矩阵 A'（k ≤ r），这样的问题称为低秩矩阵近似问题。
    该问题可以形式化为：

    该问题可以使用奇异值分解：对矩阵 A 进行奇异值分解后，将 Σ 矩阵（见奇异值分解）的 r-k 个最小的奇异值置零获得矩阵 Σ_k，A_k = U_k Σ_k V_k^T 就是最优解，其中 U_k 和 V_k 分别是 U 和 V 前 k 列组成的矩阵。这个结果也称为 Eckart-Young-Mirsky 定理。

  • Page402: 奇异值分解（Singular Value Decomposition，简称 SVD）

    对任意矩阵 都可分解为：，其中， 是满足 的 m 阶酉矩阵（unitary matrix）； 是满足 的 n 阶酉矩阵； 是 m×n 的矩阵，其中 且其他位置的元素均为 0， 为非负实数且满足 。

  • Page403: 拉格朗日乘子法（Lagrange multipliers）

    拉格朗日乘子法是一种寻找多元函数在一组约束下的极值的方法。通过引入拉格朗日乘子，可将有 d 个变量与 k 个约束条件的最优化问题转化为具有 d+k 个变量的无约束优化问题求解。有等式约束和不等式约束两种。
    以等式约束的优化问题为例。假定 x 为 d 维向量，要求 x 的某个取值 x* 使目标函数 f(x) 最小且同时满足 g(x)=0 的约束。从几何角度看该问题的目标是在由方程 g(x)=0 确定的 d-1 维曲面上寻找能使目标函数 f(x) 最小化的点。此时很容易得出在最优点目标函数与约束函数相切（即目标函数在该点的梯度正交于约束曲面）。由此可知，在最优点，梯度 方向相同或相反：，即存在 λ ≠ 0 使得 ，λ 称为拉格朗日乘子，定义拉格朗日函数为：。

  • Page405: 对偶函数（dual function）

    将优化问题的约束推广到多个：具有 m 个等式约束和 n 个不等式约束，且可行域 非空的优化问题：

    该问题为优化问题的主问题（primal problem），相应的拉格朗日函数为：
    ，
    其对偶函数定义为：
    。
    对偶函数给出了主问题的最优值下界，因为若 x* 为主问题可行域的点，对任意 ，都有 ，进而有 。

  • Page406: 二次规划（Quadratic Programming，简称 QP）

    一类典型的优化问题，包括凸二次优化和非凸二次优化。目标函数是变量的二次函数，约束条件是变量的线性不等式。假定变量个数为 d，约束条件个数为 m，标准的二次规划问题形如：

    其中，x 为 d 维向量， Q ∈ R 为实对称矩阵，A ∈ R 为实矩阵，b ∈ R 和 c ∈ R 为实向量，Ax ≤ b 的每一行对应一个约束。

  • Page407: 半正定规划（Seme-Definite Programming，简称 SDP）

    是一类凸优化问题，其中的变量可组织成半正定对称矩阵形式，且优化问题的目标函数和约束都是这些变量的线性函数。
    给定 d×d 的对称矩阵 X, C，，
    若 Ai(i=1,...,m) 也是 d×d 的对称矩阵，bi(i=1,2,...,m) 为 m 个实数，则半正定规划问题形如：

  • Page409: 伯努利分布（Bernoulli distribution）

    关于布尔变量 x ∈ {0,1} 的概率分布，其连续参数 μ ∈ [0,1] 表示变量 x=1 的概率。

  • Page409: 均匀分布（uniform distribution）

    关于定义在区间 [a,b](a<b) 上连续变量的简单概率分布。

  • Page410: 多项分布（multinominal distribution）

    将伯努利分布由单变量扩展为 d 维，并在此基础上扩展二项分布就得到多项分布，它描述了在 N 次独立实验中有 mi 次 xi=1 的概率。

  • Page410: 二项分布（binomial distribution）

    描述 N 次是独立的伯努利实验中有 m 次成功（x=1）的概率。

  • Page411: 贝塔分布（Beta distribution）

    关于连续变量 μ ∈ [0,1] 的概率分布，由两个参数 a>0, b>0 确定：


    当 a=b=1 时，贝塔分布退化为均匀分布。

  • Page412: 狄利克雷分布（Dirichlet distribution）

    关于一组 d 个连续变量 μi ∈ [0,1] 的概率分布，。令 ，参数


    当 d=2 时，狄利克雷分布退化为贝塔分布。

  • Page412: 高斯分布（Gaussian distribution）

    亦称正态分布（normal distribution），是应用最广泛的连续概率分布。
    对于单变量 x ∈ (-∞, +∞)，高斯分布的参数为均值 μ ∈ (-∞, +∞) 和 方差 σ^2 > 0。


    对于 d 维向量 x，多元高斯分布的参数为 d 维均值向量 μ 和 d×d 的对称正定协方差矩阵 Σ。

  • Page412: 正态分布（normal distribution）

    同高斯分布。

  • Page413: 共轭分布（conjugate distribution）

    假设变量 x 服从分布 P(x|Θ)，其中 Θ 为参数，X={x1,x2,...,xm} 为变量 x 的观测样本，假设参数 Θ 服从先验分布 ∏(Θ)。
    若由先验分布 ∏(Θ) 和抽样分布 P(X|Θ) 决定的后验分布 F(Θ|X) 与 ∏(Θ) 是同种类型的分布，则称先验分布 ∏(Θ) 为分布 P(X|Θ) 或 P(x|Θ) 的共轭分布。

  • Page414: 相对熵（relative entropy）

    亦称 KL 散度或信息散度，可用于度量两个概率分布之间的差异。给定两个概率分布 P 和 Q，二者之间的相对熵定义为：

    其中 p(x) 和 q(x) 分别为 P 和 Q 的概率密度函数。
    通俗地说，用分布 Q 的最佳信息传递方式来传达分布 P，比用分布 P 自己的最佳信息方式传达平均多耗费的信息长度为 KL 散度。

  • Page414: 信息散度（information divergence）

    同相对熵。

  • Page415: 交叉熵（cross entropy）

    KL 散度展开可得：

    其中 H(P) 为熵，H(P,Q) 为 P 和 Q 的交叉熵。 通俗地说，用分布 Q 的最佳信息传递方式传达分布 P 中随机抽选的一个事件，所需的平均信息长度为交叉熵。

  • Page415: 熵（entropy）

    熵是对整个事件信息量的量化，传达信息所需的最优平均信息长度为香农熵。

附：一些不错的学习资料

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